Procedimientos para obtener cuadrados mágicos

No hay un procedimiento general que permita obtener cuadrados mágicos de cualquier tamaño, pero sí que hay muchos procedimientos particulares, cada uno es válido para un determinado número de casillas por lado. Aquí sólo exponemos alguno de ellos:

• Fórmula para cuadrados mágicos de 3x3
  
  

  a+c+2d 2a+2b b+2c+d 2b+2c a+b+c+d 2a+2d 2a+b+d 2c+2d a+2b+c

  
  
  si se simplifica haciendo c = 0 y d = 0
  
  

  a 2a+2b b 2b a+b 2a 2a+b 0 a+2b

  
  
  Por ejemplo, si tomamos los siguientes valores, a=5 y b=3 nos queda:
  
  
  

  5	16	3
  6	8	10
  13	0	11

  
  


• Fórmula para cuadrados mágicos de 4x4
  
  
  

  a+e	b+f	c+g	d+h
  c+h	d+g	a+f	b+e
  d+f	c+e	b+h	a+g
  b+g	a+h	d+e	c+f

  
  
  No obstante, con esta fórmula sólo se pueden obtener en torno a la mitad de los cuadrados mágicos originales de 4x4 que existen.
  
  Ahora tomemos los siguientes valores: a=10, b=0, c=2, d=8, e=5, f=4, g=1, h=0 tenemos:
  
  
  

  15	4	3	8
  2	9	14	5
  12	7	0	11
  1	10	13	6

  
  


• Cuadrados mágicos nxn obtenidos desplazando las filas
  
  Para hallar un cuadrado mágico original nxn preparas dos cuadrículas de nxn, pones directamente los n primeros números naturales en la primera fila de los dos cuadrados, no hace falta que estén ordenados, ni situados igual en los dos cuadrados. Después sitúas esos mismos números en las demás filas del cuadrado, poniéndoles en el mismo orden que en la primera fila, desplazándolos cíclicamente un número de puestos p, distinto en cada cuadrado, de forma que el número n no tenga divisores comunes respecto a p, (p+1), (p-1), (n-p), (n-p+1), (n-p-1). Después multiplica n por cada número del primer cuadrado y suma lo del segundo
  Este procedimiento no impone límite de tamaño de n. Pero si n es par o múltiplo de 3, no hay un número p que cumpla la norma, así en columnas o en diagonales hay series de números que se repiten. Pero esto no es problema, podemos permitir que se repitan en columnas o diagonales si distribuimos los números de tal forma que den la misma suma al repetirse. Solamente este método no es válido cuando n es doble de un número impar, son los cuadrados 6x6, 10x10, 14x14.
  
  Por ejemplo veamos el siguiente ejemplo de un cuadrado mágico de 5 x 5 tenemos
  
  

  	desplazados 2 puestos		desplazados 3 puestos
  5 X	1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 2 3 4 5 1 5 1 2 3 4 3 4 5 1 2	+	5 4 3 2 1 3 2 1 5 4 1 5 4 3 2 4 3 2 1 5 2 1 5 4 3	=	10 14 18 22 26 23 27 6 15 19 11 20 24 28 7 29 8 12 16 25 17 21 30 9 13

  
  


• Cuadrados mágicos de 6x6
  
  Preparamos un casillero de 6x6 agrupados sus cuadros en 2x2, sobre él colocamos a tanteo los números 0, 1, 2, 3, de manera que cumpla la condición de cuadrado mágico, es decir, los números de sus líneas horizontales, verticales y diagonales deben sumar 9.
  Preparamos otro casillero igual, colocamos un cuadrado mágico de 3x3 repitiendo cada número sobre cada grupo de cuadros 2x2.
  En cada casilla multiplicamos 9 por el número del primero y le sumamos el número del segundo.
  También podemos hacerlo sumando el número del primero con el producto de 4 por el número del segundo.