Explicación de la carta de los animales y la “naturalidad” del numero e

Una observación antes. Si en los montones de 13 cartas paramos en las cartas n1 y n2, en los montones que vamos a descartar tenemos n1 – 1 cartas y n2 – 1 respectivamente.
Como la carta que habíamos visto era la número 2 del montón de descarte, lo que tenemos es:

(n1 – 1) + (n2 – 1) + 2 = n1 – 1 + n2 – 1 + 2 = n1 + n2

Si bien este truco usa una simple ecuación matemática, quizás lo más lindo de ver es la probabilidad de que en el proceso de contar hacia “atrás” al menos una carta coincida con su número.
Para hacerlo mas entretenido pensemos en un ejemplo similar.
Supongamos que tenemos n monedas y n alcancías numeradas. Lo que nos interesa calcular es la probabilidad de que si metemos las monedas al azar en las alcancías no acertemos con ninguna.
En términos matemáticos, lo que queremos calcular es la probabilidad de obtener una permutación {1, 2, …, n} que no fije ningún elemento.
Esta es una de las clásicas aplicaciones del principio de inclusión/exclusión y usualmente se lo conoce como el “problema de los desbarajustes”.
Para nuestro caso con las cartas, supongamos que los valores de las 13 cartas son todos distintos.
Antes de continuar, hagamos una observación. Estamos ante el peor de los casos, ya que si hubiera cartas repetidas, la probabilidad de que ocurran coincidencias seria mucho mayor.
Luego de esto, estamos ante el problema de los desbarajustes, y esta probabilidad viene dada por la formula


Por lo tanto, nuestra probabilidad es muy cercana a 1 -que es aproximadamente 0,6321.
Esta formula, cuando n tiende a infinito, es decir, cuando n es cada ves mas grande, es prácticamente e-1 lo que no deja de ser sorprendente, y maravilloso, ya que, a efectos prácticos, es una probabilidad independiente de n, algo que va en contra de la intuición, ya que nuestra intuición diría que cuanto mayor es n mas difícil seria acertar alguna carta.
Para los que son profesores, este es un magnifico ejemplo para mostrar la “naturalidad” del numero e.