explicación de vuelvo y corto dos

Al principio del juego, las cartas están alternadas por colores, con lo que los dos movimientos que se desarrollan (cortar y completar el corte; dar vuelta las dos cartas superiores) no alteran la estructura original.
Primero, para convencernos de esto, observemos que el corte no altera la alternancia de cartas. De hecho, supongamos que la primera carta es roja y la última deberá ser negra, con lo que luego de cortar, cuando se complete el corte, la carta roja quedara debajo de la carta negra. Ahora bien, si cuando cortamos lo hacemos por una carta roja, es decir, la carta que quedara debajo del monto que estaba en la parte superior del mazo es de color rojo, esta quedara ahora en ultimo lugar, lo que significa que la carta que la seguía ahora quedara en el lugar superior, y como las habíamos alternado los colores, seguiremos teniendo la misma estructura. Si cortáramos por una carta negra en lugar de una roja, el razonamiento seria análogo. Ahora bien, si en lugar de suponer que la carta superior es roja, suponemos que es negra, el razonamiento es análogo, con lo que ya tenemos asegurado que la estructura de colores no se alternara.
Otra forma de pensar esto, es suponer el mazo de cartas como si fuera un círculo, es decir, que la primera y la última son consecutivas.
Ahora pensemos que pasara cuando demos vuelta las cartas.
En el momento inicial tenemos todas las cartas con el dorso hacia arriba. Cada carta además tiene su propia paridad (impar o par) que además coincide con su color. Cuando demos vuelta dos cartas, no solo cambiaremos su estado, sino también su paridad. De acuerdo a esto, tendremos dos grupos posibles de cartas:
Uno con las cartas rojas que están cara abajo y negras que están cara arriba, y otro con las negras que están cara abajo y las rojas que están cara arriba.
A lo largo de todo el juego, esta clasificación se mantiene, y cada carta estará en un grupo según su paridad (lo que ya demostramos según los colores).
Con todo esto lo único que nos falta es poder agrupar las cartas según sus colores y estados, lo cual lo logramos dando vuelta uno de los paquetes luego de separarlos según su paridad.
Otra ves usamos el principio de paridad para lograr un buen truco, si no recuerdas el principio en el siguiente post esta explicado junto con un truco muy parecido.

http://matmagia.blogspot.com/2008/09/explicacin-del-truco.html

Explicación de la carta de los animales y la “naturalidad” del numero e

Una observación antes. Si en los montones de 13 cartas paramos en las cartas n1 y n2, en los montones que vamos a descartar tenemos n1 – 1 cartas y n2 – 1 respectivamente.
Como la carta que habíamos visto era la número 2 del montón de descarte, lo que tenemos es:

(n1 – 1) + (n2 – 1) + 2 = n1 – 1 + n2 – 1 + 2 = n1 + n2

Si bien este truco usa una simple ecuación matemática, quizás lo más lindo de ver es la probabilidad de que en el proceso de contar hacia “atrás” al menos una carta coincida con su número.
Para hacerlo mas entretenido pensemos en un ejemplo similar.
Supongamos que tenemos n monedas y n alcancías numeradas. Lo que nos interesa calcular es la probabilidad de que si metemos las monedas al azar en las alcancías no acertemos con ninguna.
En términos matemáticos, lo que queremos calcular es la probabilidad de obtener una permutación {1, 2, …, n} que no fije ningún elemento.
Esta es una de las clásicas aplicaciones del principio de inclusión/exclusión y usualmente se lo conoce como el “problema de los desbarajustes”.
Para nuestro caso con las cartas, supongamos que los valores de las 13 cartas son todos distintos.
Antes de continuar, hagamos una observación. Estamos ante el peor de los casos, ya que si hubiera cartas repetidas, la probabilidad de que ocurran coincidencias seria mucho mayor.
Luego de esto, estamos ante el problema de los desbarajustes, y esta probabilidad viene dada por la formula


Por lo tanto, nuestra probabilidad es muy cercana a 1 -que es aproximadamente 0,6321.
Esta formula, cuando n tiende a infinito, es decir, cuando n es cada ves mas grande, es prácticamente e-1 lo que no deja de ser sorprendente, y maravilloso, ya que, a efectos prácticos, es una probabilidad independiente de n, algo que va en contra de la intuición, ya que nuestra intuición diría que cuanto mayor es n mas difícil seria acertar alguna carta.
Para los que son profesores, este es un magnifico ejemplo para mostrar la “naturalidad” del numero e.

Explicación del truco

Este truco y su principio matemático lo voy a explicar en un solo artículo, ya que no es muy extenso.

Este truco esta basado en un principio matemático llamado principio de paridad, el cual fue descubierto por Henry Dudeney y publicado en su libro “Modern Puzzles” de 1926. Martín Gardner posteriormente lo amplio en varias de sus publicaciones.

De este principio, que a primera vista parece muy simple y sin embargo da mucho mas juego, distingue entre los números pares y los impares.
Lo que nos va a interesar son tres propiedades muy importantes:

Los números pares e impares se van alternando, en consecuencia, para cualquier número entero n, los números n y n+1 tienen distintas paridades. De forma mas general, n y n+a tienen distinta paridad siempre que a sea impar y tienen la misma paridad si a es par.

La suma de dos números de distinta paridad es siempre impar.

El producto de dos números en el que al menos uno de ellos es par siempre es par; el producto de dos números impares es impar.

La explicación al truco de los dados

Antes que nada, los trucos que voy a explicar son los siguientes:

1) http://matmagia.blogspot.com/2008/08/adivinando-dados.html
2) http://matmagia.blogspot.com/2008/08/otro-con-dados.html

Veamos que pasa con el primero:

Llamaremos a y b a los números que salen en los dados y veamos que pasa con las operaciones.

1) a.5
2) a.5 + b
3) a.5 + b +5
4) a.10 + b.2 + 10
5) a.10 + b + 10

Con lo que restando a este resultado (a.10 + b + 10) el numero 10 obtendríamos el numero (en base 10, la que usamos en nuestro sistema de numeración) ab (por ejemplo si los dados fueran 2 y 3 obtendríamos 23) con lo que el numero de las decenas nos da el resultado de un dado y el de las unidades nos da el otro.

Bien, ahora con el segundo truco pasara lo mismo, veámoslo.

Llamemos a,b,c a los tres dados

1) a.10
2) a.10 + b
3) a.10 + b + 5
4) a.100 + 10.b + 50
5) a.100 + 10.b + 50 + c

Con lo que restando 50 obtendríamos el numero abc (a.100 + b.10 + c).

Esta es una de las formas que existen para adivinar los dados que tire una persona. Las otras son similares, nada mas que usan otras operaciones pero siempre buscando lo mismo. Esta fue ideada por mi, así que espero que piensen otras variantes y hasta las pueden pensar para 4, 5 o los dados que se les ocurran.