Principio de inclusión-exclusión

En la rama de la matemática que se conoce como combinatoria, el principio de inclusión/exclusión, también conocido como principio de la criba, establece que si A y B son conjuntos finitos, entonces el cardinal de la unión de los conjuntos A y B se calcula mediante la formula

Para calcular el cardinal de esta unión, se suman los cardinales de los conjuntos A y B y luego se resta el cardinal de la intersección. El nombre del principio proviene de la idea de que el principio se basa generosa “inclusión” seguida de una compensadora “exclusión”.
Esta fórmula se atribuye a Abraham de Moivre aunque a veces también se la asocia a otro gran matemático, Henri Poincaré.

En probabilidad, que era lo que nos interesaba calcular, para sucesos A1, ..., An el principio de inclusión-exclusión para n = 2 tiene por formula:

El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades:

• El concepto de orden en los números naturales


• Practicar las operaciones aritméticas básicas


• Establecer relaciones numéricas


• Determinar y crear patrones


• Desarrollar estrategias para la resolución de problemas


• Generalizar


• Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento

Procedimientos para obtener cuadrados mágicos

No hay un procedimiento general que permita obtener cuadrados mágicos de cualquier tamaño, pero sí que hay muchos procedimientos particulares, cada uno es válido para un determinado número de casillas por lado. Aquí sólo exponemos alguno de ellos:

• Fórmula para cuadrados mágicos de 3x3
  
  

  a+c+2d 2a+2b b+2c+d 2b+2c a+b+c+d 2a+2d 2a+b+d 2c+2d a+2b+c

  
  
  si se simplifica haciendo c = 0 y d = 0
  
  

  a 2a+2b b 2b a+b 2a 2a+b 0 a+2b

  
  
  Por ejemplo, si tomamos los siguientes valores, a=5 y b=3 nos queda:
  
  
  

  5	16	3
  6	8	10
  13	0	11

  
  


• Fórmula para cuadrados mágicos de 4x4
  
  
  

  a+e	b+f	c+g	d+h
  c+h	d+g	a+f	b+e
  d+f	c+e	b+h	a+g
  b+g	a+h	d+e	c+f

  
  
  No obstante, con esta fórmula sólo se pueden obtener en torno a la mitad de los cuadrados mágicos originales de 4x4 que existen.
  
  Ahora tomemos los siguientes valores: a=10, b=0, c=2, d=8, e=5, f=4, g=1, h=0 tenemos:
  
  
  

  15	4	3	8
  2	9	14	5
  12	7	0	11
  1	10	13	6

  
  


• Cuadrados mágicos nxn obtenidos desplazando las filas
  
  Para hallar un cuadrado mágico original nxn preparas dos cuadrículas de nxn, pones directamente los n primeros números naturales en la primera fila de los dos cuadrados, no hace falta que estén ordenados, ni situados igual en los dos cuadrados. Después sitúas esos mismos números en las demás filas del cuadrado, poniéndoles en el mismo orden que en la primera fila, desplazándolos cíclicamente un número de puestos p, distinto en cada cuadrado, de forma que el número n no tenga divisores comunes respecto a p, (p+1), (p-1), (n-p), (n-p+1), (n-p-1). Después multiplica n por cada número del primer cuadrado y suma lo del segundo
  Este procedimiento no impone límite de tamaño de n. Pero si n es par o múltiplo de 3, no hay un número p que cumpla la norma, así en columnas o en diagonales hay series de números que se repiten. Pero esto no es problema, podemos permitir que se repitan en columnas o diagonales si distribuimos los números de tal forma que den la misma suma al repetirse. Solamente este método no es válido cuando n es doble de un número impar, son los cuadrados 6x6, 10x10, 14x14.
  
  Por ejemplo veamos el siguiente ejemplo de un cuadrado mágico de 5 x 5 tenemos
  
  

  	desplazados 2 puestos		desplazados 3 puestos
  5 X	1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 2 3 4 5 1 5 1 2 3 4 3 4 5 1 2	+	5 4 3 2 1 3 2 1 5 4 1 5 4 3 2 4 3 2 1 5 2 1 5 4 3	=	10 14 18 22 26 23 27 6 15 19 11 20 24 28 7 29 8 12 16 25 17 21 30 9 13

  
  


• Cuadrados mágicos de 6x6
  
  Preparamos un casillero de 6x6 agrupados sus cuadros en 2x2, sobre él colocamos a tanteo los números 0, 1, 2, 3, de manera que cumpla la condición de cuadrado mágico, es decir, los números de sus líneas horizontales, verticales y diagonales deben sumar 9.
  Preparamos otro casillero igual, colocamos un cuadrado mágico de 3x3 repitiendo cada número sobre cada grupo de cuadros 2x2.
  En cada casilla multiplicamos 9 por el número del primero y le sumamos el número del segundo.
  También podemos hacerlo sumando el número del primero con el producto de 4 por el número del segundo.
  

Las propiedades de los cuadrados mágicos

Hoy les dejo las propiedades de los cuadrados mágicos.

• Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico.
  
  

  7 2 3 0 4 8 5 6 1

  +2 =

  9 4 5 2 6 10 7 8 3



• Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir. Por ejemplo
  
  

  7 2 3 0 4 8 5 6 1

  +

  9 4 5 2 6 10 7 8 3

  =

  16 6 8 2 10 18 12 14 4

• Se pueden intercambiar entre sí dos filas junto con dos columnas simétricas en bloque todos los números de una fila con todos los números de otra fila, haciendo lo mismo con los números de las filas y columnas que sean simétricas a ellas respecto de los ejes vertical, horizontal y de las diagonales. Por ejemplo
  
  

  Comienzo	Intercambiamos la 1º fila con la 4º fila
  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1	6 10 13 1 5 9 2 14 11 7 12 0 8 4 3 15

  
  


• En los cuadrados de 4x4, además de sus filas, columnas y diagonales, también suman lo mismo los números de casillas situadas en vértices de rectángulos concéntricos paralelos al cuadrado. Son los de las casillas señaladas en el ejemplo siguiente, como por ejemplo en el ejemplo que sigue
  
  

  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1

  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1

  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1

  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1

  8 4 3 15 5 9 2 14 11 7 12 0 6 10 13 1

  
  

Un poco de historia

Como la otra vez me quede con ganas de poner mas cosas sobre los cuadrados mágicos, acá empiezo. Hoy les dejo su historia.
Los cuadrados mágicos tienen su origen en China, donde eran conocidos varios siglos antes de Cristo. Según cuenta la leyenda, el primer cuadrado mágico fue revelado al emperador Fu Xi a través de una tortuga divina que apareció en el río Luo, que lo llevaba grabado en su caparazón. Este Emperador reinó en el siglo XII a. de C. Este cuadrado es conocido con el nombre de Luo Shu (escritura del río Luo).















Si miramos bien, a cada figura se le puede asignar un número. Si ponemos esos números en una matriz de 3 x 3, obtenemos lo siguiente

4	3	8
9	5	1
2	7	6

La suma de los tres números en cualquier dirección horizontal, vertical o diagonal da como resultado el 15, por lo que es un cuadrado mágico.
A pesar de ello se cree que los cuadrados mágicos no son anteriores al siglo IV a. de C. De la China pasaron al Japón, al Sudeste asiático, a la India y de allí a Arabia. Al mundo occidental llegó su conocimiento mucho más tarde, a través de los árabes y de comerciantes y navegantes como Marco Polo. El primer cuadrado mágico del que se tiene documentación en Europa aparece en el grabado Melancolía de Alberto Durero.
El apelativo “mágicos” no es trivial y de ahora, sino que desde su origen siempre han tenido un significado cabalístico y mágico, utilizándolos como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándoles con la religión, la astrología y la alquimia. El imposible cuadrado de 2x2 se veía como una imperfección, efecto o consecuencia del pecado. Los árabes utilizaron cuadrados de n impar con el número 1 en el centro, número que sería la única representación de Alá.
Estudiosos del Renacimiento como Cornelio Agrippa (1486, 1535) se interesaron mucho por los cuadrados mágicos, pretendían encontrar en ellos la clave para entender las relaciones entre los astros y también entre los metales entonces conocidos. Bernard Frènicle de Bessy halló los 880 cuadrados mágicos de 4x4 que existen y los presentó en la Academia de las Artes de París en 1676 Filip de la Hire los publicó en 1693. El buscar métodos para obtenerlos propició el desarrollo de los sistemas de ecuaciones. Actualmente, la Ciencia al estar basada en la observación y la medida, y concretamente las Matemáticas en la demostración, los cuadrados mágicos han quedado relegados a lo que se denomina Matemática Recreativa y no se les da importancia. En realidad se están desaprovechando las excelentes posibilidades didácticas que encierran.

Un poco de historia

En este artículo les dejo una breve biografía de los dos personajes que ayer les nombre, Dudeney y Gardner.
Henry Ernest Dudeney nació en la villa de Mayfield, al sur de Inglaterra, el 10 de abril de 1857. Junto al norteamericano Sam Loyd (1841-1911) son los más notables inventores de problemas de ingenio de todos los tiempos. Ambos desarrollaron su obra publicando en diversas revistas a los largo de muchos años. En una evaluación de estos dos genios del ingenio, Martín Gardner escribió: “Loyd fue un chispeante y prolífico creador de acertijos, con una habilidad especial para resaltar los efectos sorprendentes, pero cuando se trata de problemas de naturaleza mas matemática, Dudeney lo superaba claramente.” Durante veinte años Dudeney escribió e ilustro una página de entretenimientos (Perplexities) para la popular revista mensual inglesa The Strand Magazine, la misma que publicaba por aquel entonces las aventuras de Sherlock Holmes.
A la vez que inventaba una cantidad descomunal de nuevos problemas, Dudeney se destacaba en la resolución de persistentes enigmas. Algunas cuestiones que venían resistiendo los métodos de expertos matemáticos fueron finalmente dilucidadas por él. La habilidad matemática la había adquirido por su propia cuenta, ya que nunca pudo asistir a una escuela.
Dudeney murió el 24 de abril de 1930. Estuvo casado con una prolífica autora de novelas románticas, Alice Dudeney, muy conocida en su época, con la que tuvo una hija.
Martín Gardner nació en Tulsa, Oklahoma el 21 de octubre de 1914. Es un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por sus libros de matemática recreativa.
Estudió filosofía y después de graduarse se dedicó al periodismo.
Saltó a la fama gracias a su columna mensual Juegos matemáticos, publicada en la revista de divulgación científica Scientific American entre diciembre de 1956 y mayo de 1986. A lo largo de esos treinta años trató los temas más importantes y paradojas de las matemáticas moderna, como los algoritmos genéticos de John Holland o el juego de la vida de John Conway, con lo que se ganó un lugar en el mundo de la matemática merced a la evidente calidad divulgativa de sus escritos. Su primer artículo llevaba el título de Flexágonos y trataba en concreto sobre los hexaflexágonos; el último tuvo como tema los árboles de Steiner minimales.
Gardner también escribió una columna en la revista Skeptical Inquirer, dedicada a la investigación científica de los fenómenos paranormales, con el objetivo de poner en evidencia los fraudes. Además de sus libros sobre pasatiempos matemáticos y divulgación científica, ha escrito sobre filosofía (Los porqués de un escriba filosófico) y una versión comentada del clásico de Lewis Carroll Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas (Alicia anotada), así como numerosas revisiones de libros de otros autores.

Explicación del truco

Este truco y su principio matemático lo voy a explicar en un solo artículo, ya que no es muy extenso.

Este truco esta basado en un principio matemático llamado principio de paridad, el cual fue descubierto por Henry Dudeney y publicado en su libro “Modern Puzzles” de 1926. Martín Gardner posteriormente lo amplio en varias de sus publicaciones.

De este principio, que a primera vista parece muy simple y sin embargo da mucho mas juego, distingue entre los números pares y los impares.
Lo que nos va a interesar son tres propiedades muy importantes:

Los números pares e impares se van alternando, en consecuencia, para cualquier número entero n, los números n y n+1 tienen distintas paridades. De forma mas general, n y n+a tienen distinta paridad siempre que a sea impar y tienen la misma paridad si a es par.

La suma de dos números de distinta paridad es siempre impar.

El producto de dos números en el que al menos uno de ellos es par siempre es par; el producto de dos números impares es impar.

Los cuadrados mágicos

Paso a explicarles lo que es un cuadrado mágico, ya que voy a utilizar uno en el próximo truco, el cual es una variante del truco El doblez mágico, que por si no lo recuerdan (:S) acá les dejo el link: http://matmagia.blogspot.com/2008/09/el-doblez-mgico.html

¿Que es un cuadrado mágico?

Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo.

Los tipos de cuadrados mágicos

Los cuadrados mágicos, tradicionalmente se forman con números naturales consecutivos desde el 1 al n^2. yo, particularmente, prefiero empezar desde el 0, y llamo cuadrados mágicos originales a los formados con los números naturales del 0 al (n^2 - 1), para diferenciarlos de los demás, ya que se pueden formar cuadrados mágicos con cualquier tipo de números: naturales, enteros, decimales, fracciones, potencias, números complejos, etc.

Por ejemplo los siguientes

7	2	3
0	4	8
5	6	1

con numeros naturales original

10	7	22
25	13	1
4	19	16

con numeros naturales no original

0	7	-1
1	2	3
5	-3	4

con numeros enteros

2,6	1,1	1,4
0,5	1,7	2,9
2	2,3	0,8

con numeros racionales


Hay muchísimas cosas más que son interesantes, como por ejemplo, las propiedades de ellos, su historia y algunas otras, pero se las voy a subir mas adelante, con esto ya nos alcanza para nuestro próximo truco.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES

En los trucos de los dados, como ya dijimos, interviene la descomposición en factores primos de un número.

Para recordar como se realiza la descomposición en factores de un número entero perteneciente al sistema numérico decimal (de base 10), veamos un ejemplo con el número 146. Este número está formado por la centena 100, la decena 40 y la unidad 6, tal como se representa a continuación: 146 = 100 + 40 + 6

Para descomponer este número será necesario relacionar cada dígito con el factor 10 de la base numérica y con los exponentes de las potencias que corresponden al lugar específico que ocupa cada uno en la cifra, es decir, 10^0 para la unidad, 10^1 para la decena, 10^2 para la centena y así sucesivamente, tal como se puede ver a continuación



Descomposición de la centena 100 = 1.10^2
Descomposición de la decena 40 = 4.10^1
Descomposición de la unidad 6 = 6.10^0


Por tanto, matemáticamente la descomposición del número 146 podemos representarla de la siguiente forma:

146 = (1 . 10^2) + (4 . 10^1) + (6 . 10^0) = (100) + (40) + (6)

Por acuerdo internacional, no es necesario identificar la base de los números pertenecientes al sistema decimal como se ha hecho en este ejemplo, porque se sobreentiende que es 10. Sin embargo, cualquier otro sistema numérico es necesario identificarlo escribiendo al final de la cifra el número correspondiente a su base con el fin de evitar confusiones.